W ogólnym przypadku, gdy wybierzemy jakąś liczbę, w tym przypadku jedynkę, a następnie będziemy ją dzielić przez coraz mniejsze liczby, wynik będzie wychodził coraz większy:

$$\frac{1}{1}=1,$$

$$ \frac{1}{0.1}=10,$$

$$ \frac{1}{0.01}=100,$$

$$ \frac{1}{10^{-3}}=10^3,$$

$$ \frac{1}{10^{-n}}=10^n,$$

Trzeba przy tym pamiętać, że nawet niewyobrażalnie ogromne liczby jak googol nie są czymś znaczącym przy nieskończoności. Nawet jeśli wzięlibyśmy skończoną liczbę równą googolowi googoli, będzie to niczym przy prawdziwej nieskończoności.

Zatem dzieląc przez liczby zbliżające się do zera, wynik będzie zbliżał się do ogromnych liczb - ale czy nie można uprościć i powiedzieć że to po prostu nieskończoność?

Ale czy nie można po prostu powiedzieć, że to nieskończoność?

Pytanie brzmi zatem, czy nie można powiedzieć, że:

$$\frac{1}{0} = \infty ?$$

Niestety nie, można jedynie powiedzieć że dzieląc przez liczbę zmniejszającą się w stronę zera, wynik będzie zwiększał się w kierunku nieskończoności.

Ale to nie to samo, co powiedzieć, że liczba podzielona przez zero da nieskończoność. Dlaczego?

Co oznacza dzielenie?

Działanie 10 / 2 = ? można zamienić na pytanie: Ile dwójek potrzebujemy do siebie dodać, żeby otrzymać liczbę 10?

Odwrotnością dzielenia jest mnożenie, więc możemy też zamienić to na pytanie: 2 * ? = 10 "Dwa razy co da 10?".

Jeśli pomnożymy jakąś liczbę startową przez liczbę X, możemy zadać pytanie: “Czy możemy nasz otrzymany wynik pomnożyć przez liczbę inną niż X, żeby z powrotem dostać liczbę startową?”, na przykład:

$$2 * 4 = 8$$

zatem przez trzeba pomnożyć 8, aby dostać z powrotem 2? Odpowiedź to właśnie 1/4, ponieważ liczba ta jest odwrotnością liczby 4.

Dodatkowo możemy zauważyć, że iloczyn liczby X i jej odwrotności jest równy 1:

$$4 * \frac{1}{4} = 1$$

Jeśli chcielibyśmy zatem pełnoprawnie dzielić przez zero, potrzeba nam jego odwrotności. Można powiedzieć, że odwrotnością 0 powinno być:

$$\frac{1}{0},$$

ale zobaczmy jakie rodzi to problemy.

Liczba i jej odwrotność zawsze dają 1, zatem jeśli chcielibyśmy dzielić przez zero, to powinna zachodzic zależność:

$$0 * \frac{1}{0} = 1.$$

Przypomnijmy sobie ze szkoły podstawowej, że każda liczba pomnożona przez 0 jest równa 0, zatem powyższe równanie nie jest prawdziwe, ponieważ:

$$0 * \frac{1}{0}= 0,$$

a nie 1, co oznacza, że liczba 0 nie ma swojej odwrotności.

A co jeśli założymy, że zero ma odwrotność

Na potrzeby eksperymentu myślowego załóżmy, że zero ma swoją odwrotność i równa jest ona nieskończoności:

$$0 \times \frac{1}{0} = 0 \times \infty = 1$$

Mnożąc obustronnie równanie razy 2 dostalibyśmy:

$$2\times0 \times \infty = 2 \times 1$$

$$ 0 \times \infty = 2?$$

To w końcu 0 razy nieskończoność to 1 czy 2? Dostajemy równanie sprzeczne 1 = 2, co pokazuje, że taka definicja odwrotności liczby 0 nie działa prawidłowo w zakładanych przez nas prawach matematyki.

Podsumowanie

Oznacza to, że zero nie posiada swojej odwrotności, a w konsekwencji czego nie tylko nie powinniśmy, ale wręcz nie możemy przez nie dzielić - nie pozwala nam na to nasza matematyka.